Ecuatii si sisteme de ecuatii de gradul I - o decizie - pagina

Ecuatii si sisteme de ecuatii de gradul I

Două numere, sau orice expresie, a aderat la „=“ egalitatea formă. În cazul în care datele sunt un număr sau o expresie pentru toate valorile literelor sunt egale, atunci această egalitate se numește identitate.

De exemplu, atunci când se spune că pentru orice un pașaport valabil:

a + = 1 1 + a. Aici egalitatea este o identitate.

Ecuația se numește ecuația care conține numărul necunoscut de aldin. Aceste scrisori sunt denumite necunoscute. Necunoscut în ecuație poate fi mai multe.

De exemplu, în 2x ecuație + y = 7x - 3 două necunoscute x și y.

Expresia de pe partea stângă a ecuației (2x + y) este numită partea stângă a ecuației, iar expresia de pe partea dreaptă a ecuației (7x - 3), este numit din partea dreaptă.

Valoarea de necunoscut, pentru care ecuația devine o identitate, numită o soluție sau rădăcină a ecuației.

De exemplu, dacă în ecuația 3 + 7 = 13, în loc de un număr necunoscut de 2 x substitut obține identitatea. În consecință, valoarea x = 2 satisface acest număr ecuație 2 și este o soluție sau o rădăcină a acestei ecuații.

Două ecuații sunt numite echivalente (sau echivalent), în cazul în care toate soluțiile din prima ecuație sunt soluții de al doilea și invers, toate soluțiile din a doua ecuație sunt mai întâi soluții. Prin echivalentul ecuației sunt, de asemenea, ecuațiile nu au soluții.

De exemplu, ecuația la 2 - 5 = 11 și 6 + 7x = 62 echivalent, deoarece acestea au aceeași rădăcină x = 8; ecuația x + 2 = 5 și x + 2x + 7 = 2 echivalent, pentru că ambele nu au soluții.

Proprietăți echivalente cu ecuația

Pentru ambele părți ale ecuației, puteți adăuga orice expresie care are sens pentru toate valorile posibile ale necunoscut; ecuația rezultată este echivalentă cu aceasta.

Exemplu. Ecuația 2 - 1 = 7 are o rădăcină x = 4. Adăugarea ambelor părți prin 5, obținem ecuația 2x - 1 + 5 = 7 + 5 2 sau 4 + = 12, care are aceeași rădăcină x = 4.

2. În cazul în care ambele părți ale ecuației sunt aceiași membri, acestea pot fi omise.

Exemplu. Ecuația 9h + 5x = 18 + 5x are o radacina x = 2. Coborârea în ambele părți ale 5x. obținem Ec = 9x 18 care are aceeași rădăcină x = 2.

3. Orice membru al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației la alta, schimbarea semnul său.

Exemplu. Ecuația 7x - 11 = 3 are rădăcină 2. Dacă x = 11 pentru a trece la partea dreapta cu semn opus, obținem ecuația 7x = 3 + 11, care are aceeași soluție x = 2.

4. Ambele părți ale ecuației pot fi multiplicate cu orice expresie (număr) având sens și non-zero, pentru toate valorile admisibile ale necunoscut, ecuația rezultată este echivalentă cu aceasta.

Exemplu. Ecuația 2-15 = 10 - 3 are o rădăcină x = 5. Înmulțind ambele părți cu 3, obținem ecuația 3 (2 - 15) = 3 (10 - 3) sau 6x - 45 = 30 - 9h. care are aceeași rădăcină x = 5.

5. Semnele tuturor termenilor din ecuația poate fi inversat (aceasta este echivalentă cu înmulțirea ambele părți cu (-1)).

Exemplu. Ecuația - 3 = 7 + - 8 Înmulțind ambele părți cu (-1) ia forma 3 - 7 = 8. Primul și al doilea ecuațiile au unic rădăcină x = 5.

6. Ambele părți ale ecuației pot fi împărțite în același număr de non-zero (adică, non-zero).

Exemplu. Ecuația are două rădăcini: și. Împărțind tuturor membrilor săi de 3, obținem ecuația, care este echivalentă cu acest lucru, deoarece are aceleași două rădăcini: și.

7. Ecuația în care coeficienții tuturor sau mai multor membri ai numere fractionare, pot fi înlocuite cu echivalentul pentru al Ecuații cu coeficienți întregi, astfel încât ambele părți ale ecuației trebuie să fie multiplicat cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților fracționare.

Exemplu. Ecuația după înmulțirea ambelor părți cu 14, ia forma:

. Este ușor de văzut că prima și ultima ecuații au o rădăcină x = 10.

Ecuațiile de gradul I

Ecuația într-o singură necunoscută, care după console de expansiune și termeni similari, ia forma, unde numărul arbitrar, x - necunoscut, se numește ecuație de gradul unu cu o singură necunoscută (ecuație lineară sau într-o singură necunoscută).

Ecuația de gradul unu cu o singură necunoscută întotdeauna o soluție; Ecuația liniară nu poate avea soluții () sau au stabilit lor infinit ().

Exemplu. Rezolva ecuația.

Decizie. Inmultiti toți termenii ecuației de cel mai mic multiplu comun al numitorilor egal cu 12.

După reducere vom obține. Eliminăm paranteze pentru a separa termenii care conțin termenii necunoscuți și absolute:

Grupul împreună într-o parte (stânga) termenii care conțin necunoscut, iar cealaltă parte (dreapta) - termenii liberi:

. Termeni similari :. Impartind ambele părți de (-22) randamentele x = 7.

Sisteme de două ecuații de gradul unu, cu două necunoscute

Ecuația a formei, care se numește ecuația de gradul I cu două necunoscute x și y. Dacă găsiți o soluție comună a două sau mai multe ecuații care spun că aceste ecuații formează un sistem de înregistrare este, de obicei, una deasupra celeilalte, și unite printr-o acoladă, de exemplu.

Fiecare pereche de valori necunoscute care satisface simultan ambele ecuații ale sistemului, numit o soluție a sistemului. Rezolva sistemul - aceasta înseamnă a găsi toate soluțiile acestui sistem și pentru a arăta că ea nu le are. Două sisteme de ecuații sunt numite echivalente (echivalent), în cazul în care toate deciziile una din care sunt soluțiile celeilalte și viceversa, toate celelalte soluții sunt primele soluții.

De exemplu, soluția sistemului este o pereche de numere x = 4 și y = 3. Numerele sunt, de asemenea, singura soluție la sistem. Prin urmare, aceste sisteme de ecuații sunt echivalente.

Metode pentru sisteme de ecuatii rezolvare

1. Metodă pentru adăugarea algebrică. În cazul în care coeficienții de unele necunoscute în ambele ecuații sunt egale în valoare absolută, adăugând apoi cele două ecuații (sau scăzând una de alta), este posibil să se obțină o ecuație cu o singură necunoscută. Rezolvarea acestei ecuații, determină o singură necunoscută, și înlocuind-o în una din sistemul de ecuații este un al doilea necunoscut.

Exemple: Rezolva sistem ecuații: 1).

Aici coeficienții în valori absolute sunt egale, dar în semn opus. Pentru ecuații cu un singur termen ecuație necunoscută de termen, adaugam sistemul:

Valoarea rezultată x = 4 este substituit în orice ecuație sistem, cum ar fi primul și găsi valoarea lui y. .

Noi egaliza coeficienții de x. Pentru aceasta, se înmulțește prima ecuație cu 3, iar al doilea de (- 2) și se adaugă ecuația rezultată.

2. Metoda de substituție. Din sistemul de ecuații de oricare dintre neizestnyh se extind prin restul, iar apoi înlocui valoarea de necunoscut în ecuațiile rămase. Luați în considerare această metodă pe exemple concrete:

1) Rezolvarea sistemului de ecuații. Ne exprimăm ecuația de prima dintre necunoscute, cum ar fi de x. și substituind valoarea x obținută în a doua ecuație, obținem ecuația într-o singură necunoscută:

Înlocuim y = 1 în expresia lui. Obținem.

2). În acest caz, este convenabil să se exprime în a doua ecuație:

. Valoarea obținută din substitutului în prima ecuație și de a obține o ecuație cu un x necunoscut:

Înlocuim valoarea x = 5 în expresia y. Obținem.

3) Rezolvarea sistemului de ecuații. Din prima ecuație ne găsim. Înlocuind această valoare în a doua ecuație, obținem o ecuație cu un y necunoscut.

Înlocuim y = 5 în expresia pentru x. obținem

3. Metoda de înlocuire. Prin sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute poate duce la unele sisteme neliniare. Acest lucru se poate face prin înlocuirea.

Exemplu. Rezolva sistem. .

Poate fi rescrisă ca un sistem :. Înlocuim necunoscut, punând, obținem un sistem liniar. Din prima ecuație ne exprimăm necunoscut. Substitut valoarea în a doua ecuație, obținem o ecuație într-o singură necunoscută:

. Substituind valoarea v în expresia t. Obținem. Din legăturile pe care le găsim.

Un studiu al sistemului

Examinați modul în care soluțiile pot avea sistemul de ecuații în cazul în care - coeficienții necunoscutele - termenii liberi.

A) În cazul în care sistemul are o soluție unică.

B) În cazul în care sistemul nu are soluții.

B) În cazul în care sistemul are un număr infinit de soluții.

Exemplu. . În cadrul sistemului, raportul dintre coeficienții pentru aceleași necunoscutele nu sunt egale (), atunci sistemul are o soluție unică.

Exemplu. . În cadrul sistemului, sau după reducerea, în consecință, sistemul nu are soluții.

Exemplu. . În acest sistem, sau după tăiere, aceasta înseamnă că sistemul are infinit mai multe soluții.

Documente conexe:

9,10,11 clase. Prima parte a cursului (cu studenții 17. Se repetă proprietățile măsură, acțiune numere reale c / p și ecuația irațional sistemyuravneny repetă cu elevi metode de soluții de ecuații iraționale și sisteme / r .....

sistemauravneny sistemauravneny Dana Dana Dana sistemauravneny regresie sistemauravneny Dana sistemauravneny. Ca urmare a deciziei sale sunt: ​​Dana sistemauravneny. pentru a forma o primă porțiune. În continuare. restricție privind gradul de vârfuri? Când.

împușcat în grad. expresie rațională. Ecuația rațională. Soluția de ecuații raționale (prima prezentare). Gradul c. dimpotrivă, pentru a determina numărul de rădăcini ale ecuației și sistemyuravneny. simplificată de expresie funcțională, pentru a găsi.

ecuația echivalentă cu ecuația (2). Apoi 2x + 3y = 7 (1) 9 x-3y = 48 (3) Sistemul uravneniyasistemy inițial va fi echivalentă cu ecuația. punct. Definiția. Uravneniepervoystepeni variabilele x și y, adică, ecuația de forma Ax + By + C = 0.