ecuații trigonometrice

ecuații trigonometrice - tema nu este cea mai ușoară. Dureros, ele sunt diferite), de exemplu, sunt .:

păcatul 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x- π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Și așa mai departe.

Dar aceste (și toate celelalte) monștri trigonometrice există două trăsătură comună și obligatorie. În primul rând - nu te-ar crede - în ecuațiile prezent funcții trigonometrice) În al doilea rând, toate expresiile cu x sunt in cele mai multe dintre aceste funcții .. Și numai acolo! Dacă X apare undeva pe exterior, de exemplu, sin2x + 3x = 3, acesta va fi o ecuație de tip mixt. Aceste ecuații necesită o abordare individuală. Aici nu vom lua în considerare.

De asemenea, nu abordează răul ecuației în această lecție.) Aici vom face cu ecuațiile trigonometrice cele mai de bază. De ce? Da, pentru că decizia cu privire la orice ecuații trigonometrice constă din două etape. In prima faza ecuația rea ​​printr-o largă varietate de transformări se reduce la simplu. Pe al doilea - pentru a rezolva această ecuație foarte simplă. În caz contrar - nici un fel.

Deci, în cazul în care în a doua etapă aveți o problemă - prima etapă a speciale nu are sens).

Cum sunt ecuații trigonometrice elementare?

Exemple de astfel de ecuații:

Și așa mai departe. Ai înțeles? În stânga - o pură (fără coeficienți) sinus (cosinus, tangenta, cotangentă), spre dreapta - un anumit număr. În termeni generali, putem scrie ecuații trigonometrice simple, cum ar fi acest lucru:

Apropo, in interiorul functiei nu poate fi un X pur și orice expresie, cum ar fi:

și altele asemenea. Acest lucru face viața dificilă, dar aceasta nu afectează metoda de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Cum de a rezolva ecuații trigonometrice?

ecuații trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Primul mod: folosind logica și cercul trigonometrice. Astfel, ne vom uita la aici. A doua modalitate - folosind o memorie și formule - discutate în lecția următoare.

Prima cale este clar, de încredere, și este dificil de a uita.) Este bine pentru soluții și ecuații trigonometrice și inegalitățile, și tot felul de exemple neobișnuite viclenie. Logica de memorie mai puternic!)

Noi rezolva ecuații folosind cerc trigonometrice.

Include logica elementară și capacitatea de a utiliza cercul trigonometrice. Nu știi cum. Cu toate acestea. Este dificil ca trebuie sa trigonometrie. ) Dar nu contează. Aruncati o privire la lecțiile de „Cercul trigonometrice. Ce este?“ și „Countdown unghiuri la cercul trigonometric.“ Totul este simplu. Spre deosebire de manuale. )

Oh, știi. Și chiar stăpânit „lucrul practic cu cercul trigonometrice.“ Felicitări. Acest subiect va primi aproape vă și clar.) Ceea ce este deosebit de plăcut, cercul trigonometrice nu contează ce ecuație te decizi. Sinus, cosinus, tangenta, cotangentă - acesta este tot una. Principiul o decizie.

Deci, vom lua orice ecuație trigonometrice elementară. Cel puțin acest lucru:

Trebuie să găsim X. Vorbind limbajul uman, pentru a găsi unghiul (X) a cărui cosinus este de 0,5.

Așa cum am utilizat anterior cercul? Am desenat pe ea un colț. În grade sau radiani. Și imediat am văzut funcții trigonometrice ale unghiului. Acum vom face opusul. Desenați un cerc de cosinusul 0,5 și a vedea imediat unghi. Va trebui doar să scrie răspunsul.) Da, da!

Desena un cerc și marchează cosinusul 0.5. Cosinusul axei, desigur. Iată cum:

Acum, trage un unghi care ne dă cosinusul. Plasați cursorul mouse-ului pe imaginea (sau imagini, apăsați pe tabletă), și veți vedea acest unghi același x.

Cosinusul unghiului este egal cu 0,5?

Dacă știți tabelul cosinus (și ar trebui să fie conștienți de ea), puteți scrie în condiții de siguranță la:

Unii hmyknet sceptic, da. Ca și, în cazul în care costul cerc gard, atunci când și așa totul este clar. Puteți, desigur, tiv. ) Dar faptul că este - răspunsul greșit. Mai degrabă, insuficientă. Experții cerc dau seama că există încă o mulțime de unghiuri, care oferă, de asemenea, cosinusul de 0,5.

Dacă rândul său, OA partea mobilă a unui viraj plin. punctul A cade în poziția de start. Deoarece cosinusul este egal cu 0,5. Ie schimbare unghi de 360 ​​° sau π 2 radiani și cosinusul - nr. Un nou unghi de 60 ° + 360 ° = 420 ° va fi, de asemenea, o soluție a ecuației, deoarece

Astfel de rotații complete pot fi înșurubate fără sfârșit. Și toate aceste noi colțuri ale soluțiilor noastre sunt ecuații trigonometrice. Și toți aceștia trebuie cumva să scrie în răspunsul. Toate. În caz contrar, nu este considerată o decizie, da. )

Matematica este capabil de a face acest lucru, pur și simplu și elegant. Într-un scurt răspuns pentru a înregistra un număr infinit de soluții. Iată cum arată ecuația noastră:

Decoda. Încă scrie semnificativ mai plăcut decât plictisitoare trage unele bukovki misterios, nu?)

π / 3 - acesta este unghiul pe care am văzut în cerc și definit de tabelul cosinus.

2 π - aceasta rotație completă în radiani.

n - este numărul de plin, și anume la fel de mult ca și viteză. Se înțelege că n poate fi 0, ± 1, ± 2, ± 3. și așa mai departe. După cum prescurtare a declarat:

Această intrare înseamnă că poate lua orice număr întreg n. Cel puțin 3, cel puțin 0, cel puțin 55 de ani. Ce vrei. Dacă înlocuim acest număr în înregistrarea de răspuns, veți obține un anumit unghi, care este sigur de a fi o decizie a ecuației Stern.)

Sau, cu alte cuvinte, x = π / 3 - este singura radacina unui set infinit. Pentru a obține toate rădăcinile rămase, suficient pentru a tt / 3 pentru a adăuga orice număr de rotații complete (n) în radiani. Ie 2 π n radiani.

Totul? Nu. mai ales am bucura întindere. Pentru a aminti mai bine.) Avem doar o parte din răspunsul la ecuația noastră. Această primă parte a soluției, voi scrie aici este modul în care:

x1 - nu o singură rădăcină, aceasta este o serie de rădăcini, scrise într-o formă concisă.

Dar există mai multe colțuri, care oferă, de asemenea, cosinusul de 0,5!

Să ne întoarcem la imaginea noastră pe care să scrie răspunsurile. Aici este:

Noi directe mouse-ul pe imagine și a vedea un alt unghi, care oferă, de asemenea, cosinusul de 0,5. Ce crezi, ce este? Triunghiurile sunt aceleași. Da! El este egal cu unghiul x. doar amânată în direcția negativă. Acest unghi -x. Dar X-am calculat deja. π / 3 sau 60 °. Deci, putem scrie în condiții de siguranță:

Și, desigur, adăugați toate unghiurile, care se obțin prin viteză maximă:

Acum totul.) În cercul trigonometric, am văzut (cine știe, desigur)) toate colțurile, oferind cosinusul de 0,5. Și aceste unghiuri sunt înregistrate într-o formă matematică scurtă. În replică el a primit două serii infinite de rădăcini:

Acesta este răspunsul corect.

Sper că principiul general al soluției de ecuații trigonometrice, folosind o serie de concepte. Notă privind cosinusul cerc (sinus, tangent, cotangentă) dintr-o ecuație predeterminată, desenează unghiuri corespunzătoare acesteia și înregistrarea răspunsului. Desigur, trebuie să ne dăm seama ce am văzut la colțuri de pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că este nevoie de logica aici.)

De exemplu Să examinăm o altă ecuație trigonometrice:

Vă rugăm să rețineți că numărul de 0.5 - nu este posibilă numai în numărul de ecuații), am doar scrie-l mai convenabil decât rădăcinile și fracțiunile !.

Lucrăm la principiul general. Desenați un semn de cerc (pe axa sine, desigur!) 0.5. Desen odată ce toate unghiurile corespunzătoare sinusul. Aici vom obține următoarea imagine:

În primul rând am investigat cu un unghi x în primul cadran. Amintindu masa de sine și de a determina amploarea acestui unghi. Este destul de simplu:

Amintindu despre viteza completă și cu o conștiință curată, vom scrie primul set de răspunsuri:

Jumătate din munca se face. Și acum este necesar să se definească al doilea colț. Este mai viclean decât cosinus, da. Dar logica ne va salva! Cum de a defini un al doilea unghi, în ceea ce privește x? Da, ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, și roșu x unghi egal cu unghiul x. Numai el este numărat pe tt unghiul în direcția negativă. Prin urmare, roșu.) Și trebuie să răspundă la unghiul corect calculată, de la pozitiv pe jumătate OX, și anume unghiul de 0 grade.

Planează asupra imaginii și a vedea totul. Primul corner am îndepărtat, astfel încât să nu complice imaginea. Suntem interesati unghi (vopsit verde) va fi:

X știm este tt / 6. Prin urmare, al doilea unghi este:

Din nou, a amintit despre adăugarea de rotații complete și scrie o a doua serie de răspunsuri:

Asta e tot. Răspuns complet este format din două serii de rădăcini:

Ecuația cu tangentă și cotangentă pot fi rezolvate cu ușurință de către același principiu general al rezolvării ecuațiilor trigonometrice. Cu excepția cazului, desigur, știu cum să atragă o tangentă și cotangentă pe cercul trigonometrice.

In exemplul de mai sus, am folosit un tabel cu valori sinus și cosinus: 0.5. Ie una dintre acele valori care sunt necesare să cunoască studentului. Și acum ne extindem capacitatea la toate celelalte valori. Decide să decidă!)

Deci, să ne trebuie să decidă aici este o ecuație trigonometrice:

Acest cosinus valori în tabelele centralizatoare acolo. ignora Imperturbabil acest lucru teribil. Desena un marcaj cerc pe cosinusul axa 2/3 și trage unghiurile respective. Aici vom obține următoarea imagine.

Pentru a înțelege, pentru a începe cu, cu unghiul în primul trimestru. Pentru a ști ce este X, răspunsul ar fi o dată înregistrat! Nu știm. Nerespectarea. Calm! matematică în probleme nu arunca! Ea a venit cu arccosinusul incidentului. Nu știu? În zadar. Aflați ce este sinusul arc, arc cosinusul? Ce este tangenta cu arc, cotangentă invers? Este mult mai ușor decât crezi. Acest link este nici o vrăji dificile despre „functii trigonometrice inverse“ nr. Excesul este într-un anumit subiect.

Dacă știți suficient să vă spuneți, „X - este unghiul a cărui cosinus este egal cu 2/3“. Imediat. pur prin definiție arccosinusul, putem scrie:

Amintindu despre cifra de afaceri suplimentară și calm scrie prima serie de rădăcinile noastre ecuații trigonometrice:

Aproape înregistrat automat și o a doua serie de rădăcini, la al doilea unghi. Toate aceleași, doar X (arccos 2/3) este un minus:

Și toate lucrurile! Acesta este răspunsul corect. Chiar și mai ușor decât valorile tabelate. Nimic nu trebuie să fie amintit.) Apropo, cel mai atent va observa că imaginea cu decizia de arccosinusul de nimic, în esență, nu este diferit de imagini pentru COSX = 0,5 din ecuație.

Asta-i drept! Principiul general pe care și un general! Am desenat în mod specific două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul x al cosinus sale. Tabelul este cosinusul, sau nu - cercul este necunoscut. Ce este acest unghi, π / 3, sau cosinusul unui arc - care este pentru noi de a decide.

Cu sine același cântec. De exemplu:

Re-desena un cerc, observăm sinusul egală cu 1/3, desena unghiuri. Se pare că este o astfel de imagine:

Iar imaginea este aproape la fel din nou, ca și pentru sinx ecuația = 0,5. Din nou, pornind de la colțul din primul cadran. Ce este X dacă este egal cu sinusul 1/3. Nicio întrebare!

Aici și gata primele rădăcini ale ambalajului:

Am investigat al doilea unghi. În exemplul valorii tabelate a fost egal cu 0,5:

Deci, aici este exact la fel! Doar un alt X, arcsin 1/3. Deci, ce. Puteți înregistra cu ușurință de-al doilea pachet de rădăcini:

Acest lucru este absolut răspunsul corect. Deși nu pare cunoscut. Dar este clar, sper.)

Asta a rezolvat ecuatii trigonometrice cu ajutorul cercului. Această cale este clar și ușor de înțeles. El este cel care salvează în ecuațiile trigonometrice cu selectarea rădăcinilor la un interval predeterminat în inegalități trigonometrice - sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în jur. Pe scurt, orice locuri de muncă, care sunt ușor standard, mai dificil.

Vom aplica aceste cunoștințe în practică?)

Rezolva ecuații trigonometrice:

În primul rând, pur și simplu, direct pe această lecție.

Dacă ai putea face acest lucru - din toată inima felicit! Cu un astfel de bagaje poate fi bucura în condiții de siguranță opțiune rapidă pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice - prin formula. Ei (formula), pur și simplu nu a pus) Mai mult decât atât, chiar și un pic de explicație. - Și sunt în măsură să rezolve inegalitățile trigonometrice și alte sarcini dificile ale „C“.

Pagina anterioară: Ce este sinusul cu arc, arc cosinusul? Ce este tangenta cu arc, cotangentă invers?

Următor: Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Dacă vă place acest site.

Apropo, încă mai am câteva locuri interesante pentru tine.)

Aici se pot practica în rezolvarea exemple și să învețe nivelul. Testarea cu verificarea instantanee. Learning - cu interes)!

Și aici puteți face cunoștință cu funcțiile și derivații.