curs 54
4. Triunghiuri, dreptunghiuri, poligoane. Formula suprafață a unui triunghi, dreptunghi, paralelogram, trapez.
5. Cercul, cerc.
Triangle - una dintre cele mai simple forme geometrice. Dar studiul său a dat naștere la o știință - trigonometrie, care a apărut din nevoile practice de măsurare a terenurilor, cartografiere a terenului, construcția de o varietate de mecanisme.
Triangle numita figură geometrică, care constă din cele trei puncte nu se află pe o linie dreaptă, și trei perechi de segmente de legătură.
Orice triunghi împarte planul în două părți: interne și externe. Figura constând dintr-un triunghi și interior, de asemenea, numit triunghiul (un triunghi sau plat).
În orice triunghi sunt următoarele elemente: părțile laterale, unghiurile, înălțimea bisectoarea, mediana, liniile mediane.
Unghi triunghi ABC cu vârful A este unghiul format de jumătățile de linii AB și AC.
Înălțimea triunghiului, coborât dintr-un anumit nod, numit perpendiculara trase din vârful la linia care conține direcția opusă.
Bisectoarea unui triunghi se numește lungimea unghiului bisector al triunghiului conectarea apex la un punct situat pe partea opusă.
Mediana triunghiului tras dintr-un anumit nod, numit segmentul care leagă partea de sus la mijlocul partea opusă.
Mijlocul triunghiului este linia care leagă punctele mediane ale celor două părți.
Triunghiurile se numesc egale dacă laturile lor respective și unghiurile corespunzătoare sunt egale. Unghiurile corespunzătoare trebuie să se situeze pe laturile respective.
În practică și în constructele teoretice sunt adesea semne de egalitate de triunghiuri, oferind o soluție mai rapidă la problema relației ei me5zhdu. Există trei semne:
1. Dacă două laturi și unghiul dintre ele a unui triunghi sunt egale, respectiv, cele două părți și unghiul dintre ele a unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale.
2. În cazul în care o parte la ea și unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale, respectiv, la partea și adiacente acesteia celelalte colțuri ale triunghiului, aceste triunghiuri sunt egale.
3. În cazul în care trei laturi ale unui triunghi sunt egale, respectiv la cele trei laturi ale unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale.
Un triunghi se numește isoscel. în cazul în care are două părți egale. Aceste părți egale sunt numite laterale și a treia latură a triunghiului se numește bază.
triunghiuri isoscele au o serie de proprietăți, cum ar fi:
Într-un triunghi isoscel, mediana trase la bisects de bază și înălțime.
Notă unele proprietăți de triunghiuri.
1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180º.
Din această proprietate rezultă că cel puțin două unghiuri acute în orice triunghi.
2. Linia mediană a triunghiului conectează punctele mediane ale celor două părți, paralelă cu a treia parte și egală cu jumătate din ei.
3. In orice triunghi fiecare parte este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
Pentru triunghi dreptunghic Teorema lui Pitagora este adevărată: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi.
Numit figura patrulater, care este format din patru puncte și patru segmente serial comunicante, și nici trei dintre punctele de date nu se află pe o linie dreaptă, și segmentele lor de legătură nu ar trebui să treacă. Aceste puncte sunt numite noduri ale patrulaterului, și conectarea segmentelor lor - părțile.
Orice plan patrulater împarte în două părți: interne și externe. Figura constând dintr-un patrulater și interior, de asemenea, numit un patrulater (sau patrulater plat).
Vârfurile patrulaterului numite adiacente, dacă acestea sunt capetele de una dintre laturile sale. Nodurile care nu sunt adiacente, numite opuse. Liniile care unesc vârfurile opuse ale patrulaterului sunt numite diagonalele.
Parte a patrulaterului, venind de la un nod, numit vecini. Părțile care nu au nici un punct final comun, numit opusul. In ABCD patrulater top A și B - laturile opuse AB și BC - învecinate, BC și AD - invers; segmente AC și BD - diagonalele patrulaterului.
Patrulatere sunt convexe și non-convexe. Astfel, patrulaterul ABCD - convexe, și KRMT patrulater - nonconvex. Printre convexe paralelograme și trapeze patrulatere izolate.
Paralelogramul este numit un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.
Să ABCD - un paralelogram. În partea de sus a unei picături drepte AD perpendiculara BE. Apoi, segmentul BE se numește înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturile BC și AD. segment
CM - înălțimea corespunzătoare paralelogramului laturile CD si AB.
Pentru a simplifica recunoașterea paralelograme, luați în considerare următoarele: în cazul în care diagonalele patrulatere se intersectează și punctul de intersecție sunt împărțite în jumătate, atunci acest patrulater - un paralelogram.
Mai multe proprietăți ale paralelogramului care nu sunt cuprinse în definiția sa, formulată sub forma de teoreme și dovedesc. Printre acestea:
1. diagonalele unui paralelogram se intersectează și punctul de intersecție sunt împărțite în jumătate.
2. paralelogram laturile opuse și unghiurile opuse sunt egale.
Să considerăm acum definiția unui trapez și proprietățile sale de bază.
Trapeze numit patrulater, ale cărei doar două laturi opuse sunt paralele.
Aceste laturi paralele sunt numite baze ale unui trapez. Celelalte două părți se numesc laterale.
Segmentul care conectează mijlocul laturilor, se numește linia de mijloc a trapez.
Linia mediană a trapezului are proprietatea că este paralelă cu bazele, și este egală cu jumătate din suma acestora.
Paralelograme pluralității de dreptunghiuri izolate și diamante.
Dreptunghiul este numit un paralelogram în care toate unghiurile sunt unghiuri drepte.
Pe baza acestei definiții, putem dovedi că diagonalele dreptunghiului sunt egale.
Un diamant este numit un paralelogram în care toate părțile sunt egale.
Folosind această definiție, putem dovedi că diagonalele unui romb se intersectează în unghiuri drepte și sunt Bisectoarele unghiurilor sale.
O pluralitate de pătrate dreptunghiuri izolate.
Piața este numit un dreptunghi în care toate părțile sunt egale.
Deoarece laturile pătratului sunt egale, atunci este, de asemenea, un romb. În consecință, piața are proprietățile unui dreptunghi și romb.
Generalizarea conceptului unui triunghi și un patrulater este conceptul unui poligon. Acesta este determinat de conceptul de linia întreruptă.
O linie întreruptă # 8321; A * 8322, A * 8323, A n ... se numește o figură, care constă din punctele A # 8321;, A # 8322 # 8323,, A,, ..., A n și segmentele interconectează A * 8321, A * Un 8322;, # 8322, # 8323,, A ..., An- # 8321; A n. Punctul A # 8321;, # 8322;, A # 8323;, ..., An sunt numite vârfurile polilinia și segmentele A # 8321; A # 8322;, # 8322 A, A # 8323;, ..., An- # 8321; AN - legăturile sale.
În cazul în care linia întreruptă nu se intersectează, este numit simplu. În cazul în care capetele sunt aceleași, atunci se spune să fie închis. Despre liniile întrerupte prezentate în figură se poate spune: a) - un simplu, b) - un simplu închis; c) - o polilinie închisă, nu este simplu.
Lungimea liniei este rupt suma lungimilor legăturile sale.
Este cunoscut faptul că lungimea liniei rupt nu este mai mică decât lungimea segmentului de conectare capetele sale.
Poligonului este numit simplu polilinie închisă în cazul în care unitățile sale învecinate nu se află pe o linie dreaptă.
Numit vârfurile vârfurilor poligonale ale poligonului și unitățile sale - părțile. Segmente care leagă nodurile nu sunt adiacente, sunt numite diagonalele.
Orice poligon împarte planul în două părți, dintre care unul este intern, iar celălalt - zona exterioară a poligonului (un apartament sau un poligon).
Distinge poligoane convexe și non-convexe.
Un poligon convex se numește regulat dacă are toate părțile și toate unghiurile sunt egale.
Chiar este un triunghi echilateral, patrulater regulat - un pătrat.
Unghiul unui poligon convex cu un anumit nod este unghiul format de laturile sale convergente la acest vârf.
Este cunoscut faptul că suma unghiurilor unui convex n-gon este egal cu 180º • (n - 2).
În geometrie, cu excepția convexă și poligoane non-convexe, ia în considerare o altă formă poligonală.
figura poligonală este unirea unui set finit de poligoane.
Poligoanele care alcătuiesc forma poligonală, nu poate avea puncte de interior comune pot avea puncte interioare comune.
Se spune că poligonală figura F este compusă din forme poligonale, în cazul în care este unirea lor, iar cifrele în sine nu au puncte interioare comune. De exemplu, un figuri poligonale prezentate în figura a) și c), putem spune că acestea constau din două sau poligonale forme pe care acestea sunt împărțite în două formă poligonală.
Cercul se numește o cifră care constă din toate punctele în plan echidistant față de un punct dat numit centru.
Orice segment punct al cercului cu centrul de conectare se numește raza cercului. Raza este numit, de asemenea, distanța de la orice punct de pe cerc la centrul său.
Segmentul care leagă două puncte ale cercului se numește o coardă. Chord care trece prin centrul, numit diametrul.
In jurul numit figura, care constă din toate punctele în plan situat la o distanță de cel mai mare, dintr-un anumit punct. Acest punct este numit centrul cercului, iar această distanță - raza cercului.
Delimitare cercului este un cerc cu același centru și rază.
Să ne amintim câteva din proprietățile unui cerc și cercul.
Ei spun că linia și cercul în cauză, în cazul în care acestea au un singur punct comun. Această linie se numește tangenta, și punctul comun al liniei și cercul - punctul de contact. Este dovedit faptul că în cazul în care linia tangentă la cercul, este perpendicular pe raza efectuat la punctul de tangență. Reciproca deține de asemenea (Fig. A).
Unghiul central al unui cerc este numit un unghi de plat, în centrul său. Partea cerc situat în interiorul unghiul plan este numit arc de cerc care corespunde acestui unghi central (ris.b).
Unghiul al cărui vârf se află pe un cerc, iar laturile aceasta se intersectează, aceasta se numește un cerc înscris (Image B).
Unghiul înscris într-un cerc, are proprietatea că este egală cu jumătate din unghiul central de corespunzător. În special, unghiuri, pe baza diametrului - drepte.
Cercul descris despre triunghiul se numește, în cazul în care trece prin toate nodurile.
Pentru a descrie un cerc în jurul triunghiului, este necesar să se găsească centrul său. De obicei, locația sa este justificată de următoarea teoremă:
cerc Center descris despre triunghiul este punctul de intersecție perpendicular pe laturile sale, trase prin mijlocul laturilor (Figura A).
Un cerc înscris într-un triunghi se numește, în cazul în care se aplică tuturor părților.
Regula pentru a găsi centrul unui astfel de cerc este teorema probante:
Centrul cercului înscris în triunghi, este punctul de intersecție al Bisectors (ris.b)
Astfel, de mijloc și Bisectoarele perpendiculare se intersectează la un moment dat, respectiv. În geometria arătat că medianele triunghiului se intersectează la un moment dat. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului, iar punctul de intersecție al înălțimi - orthocenter.
Astfel, în orice triunghi, există patru puncte remarcabile: centrul de greutate al centrelor cercurilor înscrise și circumscrise și orthocenter.
Despre fiecare poligon regulat poate fi descris ca un cerc și un poligon regulat, în fiecare cerc poate fi înscris, iar centrele cercurilor circumscrise si inscriptionate coincid.