Cum de a rezolva ecuații trigonometrice
ecuația trigonometrică cuprinde una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei „x“ (sau orice altă variabilă). Soluție de ecuații trigonometrice - este de a găsi o astfel de valoare „x“, care îndeplinește funcția (funcțiile) și ecuația cu totul.
- Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice sunt exprimate în grade sau radiani. exemple:
x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grade; x = 37,12 grade; x = 178.37 grade.
- Notă: Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiului, exprimat în radiani, iar unghiurile, exprimate în grade, egal. cerc trigonometric cu o rază egală cu unul, este folosit pentru a descrie funcțiile trigonometrice, precum și de a verifica corectitudinea deciziei ecuațiilor trigonometrice de bază și inegalități.
- Exemple ecuații trigonometrice:
- sin x + 2x păcat = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
- cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.
- cerc trigonometric cu o rază egală cu unu (cercul unitate).
- Un cerc cu o rază egală cu una și centrat la O. cercul unitate 4 descrie funcția trigonometrică de bază a variabilei „x“, unde „x“ - unghiul măsurat de pe axa X direcție pozitivă în sens antiorar.
- În cazul în care „x“ - un anumit unghi pe unitatea de cerc, atunci:
- Axa orizontală OAH indică funcția F (x) = cos x.
- axa verticală indică ovy funcția F (x) = sin x.
- Axa verticală indică funcția AT F (x) = tg x.
- BU Axa orizontală indică funcția F (x) = x CTG.
- Cercul unitate este, de asemenea, utilizat în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază și inegalități (în ea discută diferitele prevederi ale „x“).
pași Editare
- Pentru a rezolva ecuații trigonometrice converti la una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Soluția de ecuații trigonometrice, în sfârșit, decizia celor patru ecuații trigonometrice de bază.
- Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
- sin x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- Soluție ecuații trigonometrice de bază implică luarea în considerare a diferitelor poziții „x“ pe cercul unitate, și folosind un tabel de conversie (sau calculator).
- Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), veți obține răspunsul: x = π / 3. Unitatea de cerc dă un alt răspuns: 2π / 3. Amintiți-vă toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică, valorile lor sunt repetate. De exemplu, periodicitatea sin x și cos x este egal cu 2πn, iar frecvența și tg x ctg x este egal cu πn. Prin urmare, răspunsul este înregistrat după cum urmează:
- x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
- EXEMPLUL 2 cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), veți obține răspunsul: x = 2π / 3. Unitatea de cerc dă un alt răspuns: -2π / 3.
- x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
- Exemplul 3. tg (x - π / 4) = 0.
- Răspuns: x = π / 4 + πn.
- Exemplul 4. ctg 2x = 1,732.
- Răspuns: x = π / 12 + πn.
- Pentru a converti ecuații trigonometrice folosind transformare algebric (factoring, aducand termenii omogene, etc.) și identități trigonometrice.
- Exemplul 5. Folosind identități trigonometrice, 2x ecuație sin x + sin + sin 3x = 0 este transformată în 4cos ecuație x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Prin urmare, este necesar să se rezolve următoarea ecuație trigonometric de bază: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
Găsirea unghiuri din valorile cunoscute ale funcțiilor.
- Înainte de a examina metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice trebuie să învețe cum să găsească colțurile valorilor cunoscute ale funcțiilor. Acest lucru se poate realiza prin utilizarea unui tabel de conversie sau la un calculator.
- Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va răspunde la x = 42.95 grade. Cercul unitate oferă unghiuri suplimentare, care este, de asemenea, egal cu cosinusul 0.732.
Puneți soluția pe cercul unitate.
- Puteți amâna soluția ecuației trigonometrice pe cercul unitate. Soluții ecuații trigonometrice pe unitatea de cerc sunt vârfurile unui poligon regulat.
- Exemplu: Soluția x = π / 3 + πn / 2 pe cercul unitate sunt nodurile unui pătrat.
- Exemplu: Soluția x = π / 4 + πn / 3 pe cercul unitate sunt vârfurile unui hexagon regulat.
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- În cazul dat ecuația trigonometrice conține doar o singură funcție trigonometrice, rezolvă această ecuație ca o ecuație trigonometrice de bază. Dacă această ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, există 2 metode de rezolvare a acestor ecuații (în funcție de posibilitățile de transformare a acestuia).
- Metoda 1.
- Conversia această ecuație în ecuația de forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, unde f (x), g (x), h (x) - ecuația trigonometrice de bază.
- Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0
- Decizie. Folosind dublu unghi formula păcat 2x = 2 * sin x * cos x, înlocuiți păcatul 2x.
- 2sos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Acum alege două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
- Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0
- Soluție: Folosind identități trigonometrice, transforma această ecuație în ecuația de forma: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Acum alege două ecuații de bază trigonometric: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
- Exemplul 8. sin x - 3x sin = cos 2x. (0
- Soluție: Folosind identități trigonometrice, transforma această ecuație în ecuația de forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Acum alege două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.
- Metoda 2.
- Conversia ecuația trigonometrice dată în ecuația care conține numai o singură funcție trigonometrice. Apoi înlocuiți funcția trigonometrică pentru unele necunoscute, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, și așa mai departe).
- Exemplul 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0
- Decizie. În această ecuație, înlocuiți (cos ^ 2 x) de (1 - păcat ^ 2 x) (conform identității). Ecuația transformată este după cum urmează:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Replace sin x t. Acum ecuație are forma: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică având două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. T2 A doua zonă rădăcină nu satisface valorile funcției (-1
- Exemplul 10. tg x + 2 2 tg ^ x = ctg x + 2
- Decizie. Înlocuiți tg x de t. Rescriem ecuația original, în forma următoare: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Acum afla T, și apoi pentru a obține x t = tg x.
ecuațiilor trigonometrice speciale.
- Există câteva ecuații trigonometrice speciale, care necesită reforme specifice. exemple:
- o * sin x + b * cos x = c; un (sin x + cos x) + cos b * x * sin x = c;
- o * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
- Așa cum am menționat anterior, toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor sunt repetate după o anumită perioadă. exemple:
- Funcția Perioada f (x) = sin x este egal cu 2tt.
- Funcția Perioada f (x) = tg x este egal cu tt.
- Funcția Perioada f (x) = sin 2x egal cu tt.
- Funcția Perioada f (x) = cos (x / 2) este egal cu 4π.
- În cazul în care perioada specificată în problema, se calculează valoarea „x“ în această perioadă.
- Notă: Soluția de ecuații trigonometrice - nu este o sarcină ușoară, care de multe ori duce la erori. Prin urmare, verificați cu atenție răspunsurile. Puteți folosi calculatorul grafic pentru a construi un grafic al R ecuației (x) = 0. In astfel de cazuri, soluțiile sunt reprezentate ca fracții zecimale (adică, tt înlocuite de 3.14).